взлом

Открытая медицинская библиотека

Статьи и лекции по медицине ✚ Библиотека студента-медика ✚ Болезни и способы их лечения.

Хирургия Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
просмотров - 286

Определœение 1. Точка принято называть точкой максимума (точкой минимума)функции , если существует такая окрестность точки , для всœех точек которой выполняется неравенство

или (20.1)

(соответственно, или .

Для функций большего числа переменных точки максимума и минимума определяются аналогично.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1 (крайне важное условие экстремума). В случае если функция имеет в точке конечные частные производные и эта точка является точкой экстремума, то обе частные производные в точке равны нулю.

Доказательство. Пусть функция в точке имеет максимум. Зафиксируем значение , тогда функция будет функцией одной переменной х, для которой в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , ᴛ.ᴇ. − точка максимума функции одной переменной . Тогда должно быть .

Аналогично показывается, что .

Теорема доказана.

Аналогичная теорема справедлива и для функции большего числа переменных.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, экстремум может быть только в тех точках, в которых частные производные равны нулю или не существуют, ᴛ.ᴇ. в критических точках. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума. Установим достаточные условия существования экстремума для функции двух переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). В случае если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные до второго порядка включительно, причем , , а вторые частные производные непрерывны в точке , то функция в этой точке:

1) при имеет максимум, если и минимум, если ;

2) при не имеет экстремума.

Без доказательства.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, для отыскания точек экстремума функции двух переменных нужно вычислить ее частные производные, из системы уравнений найти стационарные точки, вычислить значения вторых производных в этих точках и проверить знак . В случае если , то при в стационарной точке – минимум функции, при − максимум. В случае если , то стационарная точка не является точкой экстремума. В случае если , то исследовать стационарную точку на экстремум нужно с помощью производных высших порядков.

Пример 1. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Имеем , , ᴛ.ᴇ. стационарная точка одна: . Поскольку , то – точка экстремума функции, причем в этой точке функция имеет максимум, так как , .

Пусть теперь функция определœена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D. Тогда по теореме Вейерштрасса она принимает в какой-то точке области наибольшее значение и в точке – наименьшее значение. В случае если или (или обе точки) – внутренние, то они являются точками экстремума функции. Вместе с тем, наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать и на границе области D.